差倍问题的数量关系是：
两数差÷倍数差=1倍数
1倍数×倍数=几倍数
较小数+两数差=较大数
例1 某厂女职工人数是男职工人数的6倍，男职工比女职工少65人。这个厂男女职工共有多少人?(适于四年级程度)
解：根据“人数差÷倍数差=1倍数”，有：
65÷(6-1)=13(人)
那么，这个厂男女职工共有的人数是：
13×(6+1)=91(人)
答略。
例2 小李买3本日记本，小华买同样的8本日记本，比小李多用2.75元。小李、小华两人分别用去多少钱?(适于五年级程度)
解：小华比小李多用2.75元(总价差)，是因为小华比小李多买(8-3)本(数量差)日记本，用这两个差求出每本日记本的价钱。
小李用的钱数是：
0.55×3=1.65(元)
小华的钱数是：
0.55×8=4.40(元)
答略。例3 甲、乙两数的差是28，甲数是乙数的3倍。问甲乙两数各是多少?(适于四年级程度)
解：甲-乙=28，甲是乙的3倍，那么乙就是1倍数，28所对应的倍数是3-1=2(倍)，则乙数可以求出。解法是：
28÷(3-1)=14……………………………乙数
14×3=42…………………………………甲数
答：甲数是42，乙数是14。
例4 一个植树小组植树。如果每人栽5棵，还剩14棵;如果每人栽7棵，就缺4棵。这个植树小组有多少人?一共有多少棵树苗?(适于五年级程度)
解：把题中的条件简要摘录如下：
每人5棵 剩14棵
每人7棵 缺4棵
比较两次分配的情况可看出，由于第二次比第一次每人多栽(7-5)棵，一共要多栽(14+4)棵树。根据两次每人栽的棵数差和所栽总棵数的差，可求出植树小组的人数，然后再求出原有树苗的棵数。
(14+4)÷(7-5)=9(人)……………………人数
5×9+14=59(棵)……………………………棵数
例5 用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进3杯水，连瓶共重440克;如果倒进5杯水，连瓶共重600克。一杯水和一个空瓶各重多少克?(适于五年级程度)
解：解这类题，要先找出“暗差”的等量关系，再找解题的最佳方法。
这道题的“暗差”有两个：一个是5-3=2(杯)，另一个是600-440=160(克)。这里两个暗差的等量关系是：2杯水的重量=160克。
这样就能很容易求出一杯水的重量：
160÷2=80(克)
一个空瓶的重量：
440-80×3=200(克)
*例6 甲从西村到东村，每小时步行4千米。3.5小时后，乙因有急事，从西村出发骑自行车去追甲，每小时行9千米。问乙需要几小时才能追上甲?(适于高年级程度)
解：乙出发时，甲已经行了(4×3.5)千米，乙每行1小时便可比甲每小时多行(9-4)千米，那么(4×3.5)千米中含有几个(9-4)千米，乙追上甲就需要多少个小时。所以：
答：乙需2.8小时才能追上甲。
例6是典型的“追及问题”。由此可知，追及问题也可以利用两差法来解答。
*例7 某电风扇厂生产一批电风扇。原计划每天生产120台电风扇，实际每天比原计划多生产30台，结果提前12天完成任务。这批电风扇的生产任务是多少台?(适于高年级程度)
解：在同样的时间(计划天数)里，实际比原计划多生产电风扇的台数是：(120+30)×12。因为实际每天比原计划多生产30台，因此：
计划完成任务的天数是60天，那么这批电风扇的生产任务就是：
120×60=7200(台)
*例8 甲每小时走5千米，乙每小时走4千米，两人同走一段路，甲比乙少用了3小时。问这段路长多少千米?(适于五年级程度)
解：解答这道题应从“差异”入手。因为凡是发生差异必定有它的道理。题中的差异是“甲比乙少用了3小时”，抓住它作如下追问，即可发现解题途径。
为什么会“甲比乙少用了3小时”?因为甲比乙的速度快。
(1)在3个小时里甲比乙多走多少千米的路呢?在3小时里甲比乙正好多走：
4×3=12(千米)
(2)甲每小时可以追上乙多少千米呢?
5-4=1(千米)
(3)走完这12千米的差数甲要走几小时呢?
12÷1=12(小时)
(4)这段路长多少千米?
5×12=60(千米)
综合算式：
5×[4×3÷(5-4)]
=5×[12÷1]
=5×12
=60(千米)
解：此题是“差倍”问题的变形。
两堆煤原来各有多少吨?(适于六年级程度)
解：这里已知两堆煤的总数和运走的总数，不知道两堆煤在总数中占多大比率，也无法把运走的煤分为甲堆运走的和乙堆运走的。虽然知道甲堆运
知道，无法发生联系，因此这两个分率无法参加运算。
本题的难点在于两堆煤运走的分率不同，若分率相同，分析就会有所进展。
然后再看假设引出了什么差异。已知条件告诉我们共运走180吨，与方才算得的162吨相差180-162=18(吨)，为什么会产生这18吨的差异呢?
270-120=150(吨)……………………甲堆
*例11 祖父给兄弟二人同样数目的零花钱，祖母给了哥哥1100日元，给了弟弟550日元，这样兄弟二人所得到的零花钱数的比为7∶5。求祖父给兄弟二人的钱数都是多少日元?(适于六年级程度)
解：因为祖父给兄弟二人的钱数相同，所以祖母给兄弟二人的钱数之差，就是他们分别得到的 零花钱钱数之差。
1100-550=550(日元)
由兄弟二人所得到的零花钱钱数的比为7∶5可知，把哥哥的钱看成是7份的话，弟弟的钱数就是5份，它们相差：
7-5=2(份)
所以，每一份的钱数是：
550÷2=275(日元)
哥哥有零花钱：
275×7=1925(日元)
其中祖父给的是：
1925-1100=825(日元)
答：祖父给兄弟二人的钱都是825日元。
*例12 一位牧羊人赶着一群羊走过来，小明问他：“你的羊群里有山羊、绵羊各几只?”牧羊人说：“山羊的只数加上99只就是绵羊的只数，绵羊的只数加上99只就是山羊的3倍，你去算吧。”请你帮助小明算一算。(适于五年级程度)
解：由“山羊的只数加上99只就是绵羊的只数”知道，绵羊比山羊多99只。由“绵羊的只数加上99只就是山羊的3倍”知道，绵羊的只数加上99只后，绵羊的只数比山羊多(99+99)只。此时，如果把山羊只数看作1倍，绵羊只数就是3倍，比山羊多(3-1)倍，这(3-1)倍正好是(99+99)只(图22-1)。用除法可以求出1倍数(山羊只数)，再用加法就可以求出绵羊只数。
(99+99)÷(3-1)
=198÷2
=99(只)…………………山羊只数
99+99=198(只)…………绵羊只数
*例13 某工厂有大、小两个车间。如果从小车间调10人到大车间，则大车间的人数是小车间的3倍;如果从大车间调30人到小车间，则两个车间的人数相等。求大、小两个车间各有多少人?(适于高年级程度)
解：根据“如果从大车间调30人到小车间，则两个车间的人数相等”知道，大车间比小车间多30×2人;根据“如果从小车间调10人到大车间，则大车间的人数是小车间的3倍”知道，这样调动后，大车间比小车间多(30×2+10×2)人。把调动后小车间的人数看作1倍数，则大车间的人数就是3倍数，比小车间的人数多(3-1)倍数，这(3-1)倍数正好是(30×2+10×2)人。用除法可以求出1倍数(调动后，小车间人数)，加上10就得小车间原有人数。
(30×2+10×2)÷(3-1)+10
=80÷24+10
=50(人)………………(小车间原有人数)
50+30×2=110(人)…(大车间原有人数)
在差倍问题中，有一类比较特殊，这就是年龄问题。年龄问题一般用差倍问题的解题思路、计算公式来分析、解答。但要注意年龄问题所单独具有的“定差”特点，即大、小两个年龄，相当于大、小两个数，无论现在、过去、将来，这两个年龄的差不变。抓住这个特点，再利用差倍问题的数量关系和解题方法，便可解答年龄问题。
*例14 今年哥哥18岁，弟弟8岁。问几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍?(适于高年级程度)
解：作图22-2。
哥哥和弟弟年龄之差(18-8)岁始终不变。把几年前弟弟的年龄看作1倍数，哥哥的年龄就是3倍数，比弟弟多(3-1)倍数，这(3-1)倍数正好对应于(18-8)岁。用除法可以求出1倍数，就是几年前弟弟的年龄，再用减法便可求出几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍。
8-(18-8)÷(3-1)=3(年)
*例15 今年父亲40岁，儿子4岁。问几年后父亲的年龄是儿子的4倍?(适于高年级程度)
解：作图22-3。
父子年龄之差(40-4)岁始终不变。把几年后儿子的年龄看作1倍数，父亲的年龄就是4倍数，比儿子多(4-1)=3倍数，这(4-1)倍数正好对应于(40-4)岁。用除法可求出1倍数，即几年后儿子的年龄，再用减法便可求出几年后父亲的年龄是儿子的4倍。
(40-4)÷(4-1)-4
=36÷3-4
=8(年)
解应用题时，首先确定一个标准数(即1倍数)，再根据已知的两数差与倍数差，用除法求出1倍数，然后以此为基础，用乘法求出另一个数的解题方法，叫做两差法。用两差法一般是解答差倍问题。
差倍问题的数量关系是：
两数差÷倍数差=1倍数
1倍数×倍数=几倍数
较小数+两数差=较大数
例1 某厂女职工人数是男职工人数的6倍，男职工比女职工少65人。这个厂男女职工共有多少人?(适于四年级程度)
解：根据“人数差÷倍数差=1倍数”，有：
65÷(6-1)=13(人)
那么，这个厂男女职工共有的人数是：
13×(6+1)=91(人)
答略。
例2 小李买3本日记本，小华买同样的8本日记本，比小李多用2.75元。小李、小华两人分别用去多少钱?(适于五年级程度)
解：小华比小李多用2.75元(总价差)，是因为小华比小李多买(8-3)本(数量差)日记本，用这两个差求出每本日记本的价钱。
小李用的钱数是：
0.55×3=1.65(元)
小华的钱数是：
0.55×8=4.40(元)
答略。例3 甲、乙两数的差是28，甲数是乙数的3倍。问甲乙两数各是多少?(适于四年级程度)
解：甲-乙=28，甲是乙的3倍，那么乙就是1倍数，28所对应的倍数是3-1=2(倍)，则乙数可以求出。解法是：
28÷(3-1)=14……………………………乙数
14×3=42…………………………………甲数
答：甲数是42，乙数是14。
例4 一个植树小组植树。如果每人栽5棵，还剩14棵;如果每人栽7棵，就缺4棵。这个植树小组有多少人?一共有多少棵树苗?(适于五年级程度)
解：把题中的条件简要摘录如下：
每人5棵 剩14棵
每人7棵 缺4棵
比较两次分配的情况可看出，由于第二次比第一次每人多栽(7-5)棵，一共要多栽(14+4)棵树。根据两次每人栽的棵数差和所栽总棵数的差，可求出植树小组的人数，然后再求出原有树苗的棵数。
(14+4)÷(7-5)=9(人)……………………人数
5×9+14=59(棵)……………………………棵数
答略。
例5 用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进3杯水，连瓶共重440克;如果倒进5杯水，连瓶共重600克。一杯水和一个空瓶各重多少克?(适于五年级程度)
解：解这类题，要先找出“暗差”的等量关系，再找解题的最佳方法。
这道题的“暗差”有两个：一个是5-3=2(杯)，另一个是600-440=160(克)。这里两个暗差的等量关系是：2杯水的重量=160克。
这样就能很容易求出一杯水的重量：
160÷2=80(克)
一个空瓶的重量：
440-80×3=200(克)
答略。
*例6 甲从西村到东村，每小时步行4千米。3.5小时后，乙因有急事，从西村出发骑自行车去追甲，每小时行9千米。问乙需要几小时才能追上甲?(适于高年级程度)
解：乙出发时，甲已经行了(4×3.5)千米，乙每行1小时便可比甲每小时多行(9-4)千米，那么(4×3.5)千米中含有几个(9-4)千米，乙追上甲就需要多少个小时。所以：
答：乙需2.8小时才能追上甲。
例6是典型的“追及问题”。由此可知，追及问题也可以利用两差法来解答。
*例7 某电风扇厂生产一批电风扇。原计划每天生产120台电风扇，实际每天比原计划多生产30台，结果提前12天完成任务。这批电风扇的生产任务是多少台?(适于高年级程度)
解：在同样的时间(计划天数)里，实际比原计划多生产电风扇的台数是：(120+30)×12。因为实际每天比原计划多生产30台，因此：
计划完成任务的天数是60天，那么这批电风扇的生产任务就是：
120×60=7200(台)
答略。
*例8 甲每小时走5千米，乙每小时走4千米，两人同走一段路，甲比乙少用了3小时。问这段路长多少千米?(适于五年级程度)
解：解答这道题应从“差异”入手。因为凡是发生差异必定有它的道理。题中的差异是“甲比乙少用了3小时”，抓住它作如下追问，即可发现解题途径。
为什么会“甲比乙少用了3小时”?因为甲比乙的速度快。
(1)在3个小时里甲比乙多走多少千米的路呢?在3小时里甲比乙正好多走：
4×3=12(千米)
(2)甲每小时可以追上乙多少千米呢?
5-4=1(千米)
(3)走完这12千米的差数甲要走几小时呢?
12÷1=12(小时)
(4)这段路长多少千米?
5×12=60(千米)
综合算式：
5×[4×3÷(5-4)]
=5×[12÷1]
=5×12
=60(千米)
答略。
解：此题是“差倍”问题的变形。
答略。
两堆煤原来各有多少吨?(适于六年级程度)
解：这里已知两堆煤的总数和运走的总数，不知道两堆煤在总数中占多大比率，也无法把运走的煤分为甲堆运走的和乙堆运走的。虽然知道甲堆运
知道，无法发生联系，因此这两个分率无法参加运算。
本题的难点在于两堆煤运走的分率不同，若分率相同，分析就会有所进展。
然后再看假设引出了什么差异。已知条件告诉我们共运走180吨，与方才算得的162吨相差180-162=18(吨)，为什么会产生这18吨的差异呢?
270-120=150(吨)……………………甲堆
答略。
*例11 祖父给兄弟二人同样数目的零花钱，祖母给了哥哥1100日元，给了弟弟550日元，这样兄弟二人所得到的零花钱数的比为7∶5。求祖父给兄弟二人的钱数都是多少日元?(适于六年级程度)
解：因为祖父给兄弟二人的钱数相同，所以祖母给兄弟二人的钱数之差，就是他们分别得到的 零花钱钱数之差。
1100-550=550(日元)
由兄弟二人所得到的零花钱钱数的比为7∶5可知，把哥哥的钱看成是7份的话，弟弟的钱数就是5份，它们相差：
7-5=2(份)
所以，每一份的钱数是：
550÷2=275(日元)
哥哥有零花钱：
275×7=1925(日元)
其中祖父给的是：
1925-1100=825(日元)
答：祖父给兄弟二人的钱都是825日元。
*例12 一位牧羊人赶着一群羊走过来，小明问他：“你的羊群里有山羊、绵羊各几只?”牧羊人说：“山羊的只数加上99只就是绵羊的只数，绵羊的只数加上99只就是山羊的3倍，你去算吧。”请你帮助小明算一算。(适于五年级程度)
解：由“山羊的只数加上99只就是绵羊的只数”知道，绵羊比山羊多99只。由“绵羊的只数加上99只就是山羊的3倍”知道，绵羊的只数加上99只后，绵羊的只数比山羊多(99+99)只。此时，如果把山羊只数看作1倍，绵羊只数就是3倍，比山羊多(3-1)倍，这(3-1)倍正好是(99+99)只(图22-1)。用除法可以求出1倍数(山羊只数)，再用加法就可以求出绵羊只数。
(99+99)÷(3-1)
=198÷2
=99(只)…………………山羊只数
99+99=198(只)…………绵羊只数
答略。
*例13 某工厂有大、小两个车间。如果从小车间调10人到大车间，则大车间的人数是小车间的3倍;如果从大车间调30人到小车间，则两个车间的人数相等。求大、小两个车间各有多少人?(适于高年级程度)
解：根据“如果从大车间调30人到小车间，则两个车间的人数相等”知道，大车间比小车间多30×2人;根据“如果从小车间调10人到大车间，则大车间的人数是小车间的3倍”知道，这样调动后，大车间比小车间多(30×2+10×2)人。把调动后小车间的人数看作1倍数，则大车间的人数就是3倍数，比小车间的人数多(3-1)倍数，这(3-1)倍数正好是(30×2+10×2)人。用除法可以求出1倍数(调动后，小车间人数)，加上10就得小车间原有人数。
(30×2+10×2)÷(3-1)+10
=80÷24+10
=50(人)………………(小车间原有人数)
50+30×2=110(人)…(大车间原有人数)
答略。
在差倍问题中，有一类比较特殊，这就是年龄问题。年龄问题一般用差倍问题的解题思路、计算公式来分析、解答。但要注意年龄问题所单独具有的“定差”特点，即大、小两个年龄，相当于大、小两个数，无论现在、过去、将来，这两个年龄的差不变。抓住这个特点，再利用差倍问题的数量关系和解题方法，便可解答年龄问题。
*例14 今年哥哥18岁，弟弟8岁。问几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍?(适于高年级程度)
解：作图22-2。
哥哥和弟弟年龄之差(18-8)岁始终不变。把几年前弟弟的年龄看作1倍数，哥哥的年龄就是3倍数，比弟弟多(3-1)倍数，这(3-1)倍数正好对应于(18-8)岁。用除法可以求出1倍数，就是几年前弟弟的年龄，再用减法便可求出几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍。
8-(18-8)÷(3-1)=3(年)
答略。
*例15 今年父亲40岁，儿子4岁。问几年后父亲的年龄是儿子的4倍?(适于高年级程度)
解：作图22-3。
父子年龄之差(40-4)岁始终不变。把几年后儿子的年龄看作1倍数，父亲的年龄就是4倍数，比儿子多(4-1)=3倍数，这(4-1)倍数正好对应于(40-4)岁。用除法可求出1倍数，即几年后儿子的年龄，再用减法便可求出几年后父亲的年龄是儿子的4倍。
(40-4)÷(4-1)-4
=36÷3-4
=8(年)
答略。